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从数学史出发

来源:UC论文网2019-03-27 09:10

摘要:

  课堂实录一、谈话引入师:咱们第一次见面,知道张老师姓什么吗?(生笑)我其实不是这个意思,zhang这个姓,都是念zhang,但这是两个不同的姓,你们知道吗?(知道)对,一个是“立早章”,另一个是“弓长张”,知道张老师姓哪个zhang吗?  生:弓长张!  师:是的,说到弓长张的弓,我还真带了一张弓,(出示弓)我和我女儿一起做的,我女儿也上六年级。弓长,弓长,我想请大家帮我量一量这个弓到底有多长...

  课堂实录一、谈话引入师:咱们第一次见面,知道张老师姓什么吗?(生笑)我其实不是这个意思,zhang这个姓,都是念zhang,但这是两个不同的姓,你们知道吗?(知道)对,一个是“立早章”,另一个是“弓长张”,知道张老师姓哪个zhang吗?


  生:弓长张!


  师:是的,说到弓长张的弓,我还真带了一张弓,(出示弓)我和我女儿一起做的,我女儿也上六年级。弓长,弓长,我想请大家帮我量一量这个弓到底有多长,谁来帮我?我这里有尺。(学生上台量)看懂了他是怎么量的吗?他刚才解决了一个很难的问题,你们有没有注意到?


  生:尺子是直的,但弓是弯的。用直的量弯的很难。


  师:把弯的东西变成了直的东西,是这样吗?好了,关于张老师的姓以及“弓有多长”的事儿,咱们就说到这儿,现在开始上课。今天要学的是圆的周长。(板书课题)


  二、概念理解


  师:我们前段时间学过圆,周长在三年级的时候就学过。(课件出示一个圆)那圆的周长是什么意思呢?


  生:圆的长度;圆外框那条长线的长度;圆的一周。


  师:这样说起来有点难懂,我想了一个办法。(课件演示圆上出现一只蚂蚁,如图1)我想让它爬行。(课件演示蚂�爬行一周)蚂蚁爬的这个路线的长度就是圆的周长。如果这个圆摆在你面前,你估计一下它的周长大概有多长?不好说,没有数据,是吗?给大家一个数据吧。(课件出示图2)这是个多大的圆?


  生:直径为10厘米的圆。


  师:直径为10厘米的圆,咱们现在先估一估它的周长有多少。(给出一个答案10厘米)大家觉得这个答案靠谱吗?为什么?


  生1:小了,因为圆的周长比直径长。


  师:那20厘米呢?


  生2:还是短了,因为20厘米就是10厘米的两倍,还是不够。


极速赛车手机版下载  师:有没有同学能说清楚为什么两倍还是不够?


  生3:因为上面的一半比10厘米要大,下面的一半肯定也比10厘米大。


极速赛车手机版下载  师:那30厘米呢?(差不多)不太好说哦,40厘米呢?为什么?


  生4:大了。因为这个正方形的周长就是40厘米,这个圆的周长没有这个正方形的周长长。


  师:也就是说我们现在能确定的是这个圆的周长比20厘米要大,比40厘米要小,是不是30厘米不太好说,对不对?(生点头)当然,如果我们硬要搞清楚它的周长是多少,可以用刚刚量弓的办法,但老是用量,不是好办法。


  三、质疑验证


  师:其实,古人对圆的周长是有研究的,并且还有研究的成果,想不想看一看古人的成果?(想)这有本书,名字叫做《周髀算经》,书上有一个关于圆的研究,它的研究结果是“周三径一”,你懂吗?“周”是什么?“径”是什么?“周三径一”又是什么意思?


  生5:“周”是周长,“径”是直径,“周三径一”是说周长是直径的3倍。


  师:古人说的“周三径一”,我们能不能把它翻译成现在的数学语言?比如,我们知道,直径用字母d表示,周长一般用C表示,这么一来,“周三径一”可以翻译成什么样子呢?


  生6:C=3d。


  师:C=3d,你们同不同意?你相信吗?(学生意见不一)怎么办呢?


  生7:我们可以动手量一下周长。


  师:就研究研究,是不是这个意思?如果要研究“周三径一”是否正确,应该如何做?同桌之间说一说,怎么就叫研究了?我们就能判断了?(同桌之间相互说)看来找到研究的方法并不是那么容易的,我们先来听听几位先找到的同学的想法,好不好?


  生8:用软尺围着圆的一周量出圆的周长,再量出直径,然后除一下,看看是不是等于3。


  师:你们同意她的办法吗?比如,张老师手上有一个圆,我知道它的直径是5厘米,我还做一件什么事,就能判断“周三径一”是否正确?


  生9:想办法量出圆的周长。


  师:(课件出示表格)假设我这里有3个圆,它的直径分别是3厘米、4厘米、5厘米,如果“周三径一”真的正确,A号圆的周长应该是多少?B呢?C呢?请同桌两人拿出你们的信封,想办法量一量,看它到底对还是不对。在研究问题的时候,尽量不要有成见,客观地记录数据。


  学生动手操作,然后汇报。


  生10:我测量的A号圆的周长是10厘米,B号圆的周长是13厘米,C号圆的周长是15厘米。


  生11:我研究的A号圆的周长是9。4厘米,B号圆的周长是12。6厘米,C号圆的周长是16。7厘米。


极速赛车手机版下载  生12:我测量的A号圆的周长是9。6厘米,B号圆的周长是12。7厘米,C号圆的周长是16。7厘米。


极速赛车手机版下载  生13:我测量的A号圆的周长是9.5厘米,B号圆的周长是11.5厘米,C号圆的周长是14.5厘米。


  师:看着这些数据,你们有什么结论?


极速赛车手机版下载  生14:“周三径一”应该是正确的。(师质疑)因为古人的结论不是完全准的,会有一点偏差。


  生15:大概古人量得不精确,跟我们量的有误差,不好说它对或者不对。


  生16:我认为应该是不正确的,这里面没有一个跟它的数据是一模一样的。


  师:但是有一个问题,一个不对的东西,怎么流传到了今天?2000多年了,我们还知道它,难道它一点价值都没有吗?


  生17:它尽管不对,但是也差不多了。


  师:差不多的话,那C=3d就不行呀,怎么改一下才好?生17:C≈3d。


  师:这样是不是好一些,也许这就是“周三径一”在《周髀算经》里本来的意思,可不可能?(生点头)“周三径一”其实就是C≈3d。如果按照这个观点,开始的那个圆的周长应该是多少?(约等于30厘米)


  四、历史探寻


  师:现在我们已经对“周三径一”的意义有了新的理解,那今天这个圆的周长是不是就学完了呢?


  生:不是,应该还要学准确地算圆的周长。


  师:是的,“约等于”那可不行。你觉得古人会不会就此罢手?一定会要继续研究!是的,有一个人就继续研究了,他叫刘徽。他将这个3改进成了3。14,采用的办法叫割圆术,想不想看看?(课件演示)这是一个正六边形,眼力好的同学应该可以看出来,这个正六边形的周长是多少?(这个正六边形的周长真的是圆直径的3倍)圆呢?圆的周长要比这个正六边形大一点。这是刘徽开始的研究,然后他不断地增加边数。你发现没有,边数越来越多,这个正多边形就越来越接近圆了。


  这是正48边形,老师为什么停在这里呢?因为事实上,刘徽在割圆的时候,从正六边形割到了正48边形,然后说了“割之弥细,所失弥少,割之又割,以至于不可割,则与圆周合体,而无所失矣”。这是刘徽的说法,他把C≈3d改造成了C≈3。14d。那么在刘徽看来,开始的那个圆的周长是多少呢?(约等于31。4厘米)精确很多了对不对?那我们是不是就此结束?


  �@个呢,是老师得到的一个新的资料,大家看看,算到了多少位呀?


  我特别喜欢一张图,给大家看一下,有个人在一张纸上写出了圆周率的小数点后八百多位,挺好玩的。


  五、回顾总结


极速赛车手机版下载  师:好了,我们回顾一下圆周率的研究过程,一开始《周髀算经》说C≈3d,结果刘徽改进成了C≈3.14d,后来祖冲之把它改进成了C≈3.1415926d到3.1415927d,后来又有很多很多,对不对?但是你发现没有,这里全是“约等于”。那到底等于多少呢?这个事情已经有研究,研究的结果可能会让你失望,第一,这个数你写不完,写不完的数你见过没有?(循环小数)第二,这个数根本就不循环。那它等于什么呢?写不完又不循环,那就找个符号吧,古人也是这么做的,这个符号就是π,也就是C=πd。C=πd是我们今天研究的结果,是什么意思呢?圆的周长是直径的π倍。无论是大圆还是小圆,所有的圆,它的周长都是直径的π倍,换一句话说,只要我告诉你圆的直径,你就可以求出圆的周长。那如果我告诉你半径呢?


  师:课到这就差不多上完了,老师想请大家课后设计两个与圆的周长有关的数学问题,一个最好是很简单的,另一个是你认为比较难的。如果你还有兴趣,设计一个超难的也可以,设计好了,把答案做出来,和同学交流。关于圆周率,数学上还有很多有意思的事儿,大家可以课后再多多了解。


  设计意图:


极速赛车手机版下载  1.关于数学史材料的使用


  数学家庞加莱说,“动物学家认为动物胚胎在发育的短期内,历经其祖先进化的一切关键年代,人类思维的发展也是这样。因此,教育的职责就是创造条件,让学生的思维过程历经人类祖先之所经历,而不跳过任何阶段。教育的指南是科学史”。庞加莱的观点中涉及一个概念―――历史发生原理,也有人叫重现法则。这本来是生物学中的一个概念,简单地说,即个体的发育史会重蹈种族的发展史。生物学家通过反复观察研究发现:人类从胚胎到出生的这一阶段的发育,几乎经过了哺乳动物由低级动物进化的整个历程。如果将这一规律应用到数学教育上,则人类个体学习数学的过程,在很大程度上是重现前人探索数学的历程。


  波利亚持有与庞加莱相同的观点。他指出:“只有理解人类如何获得某些事实或概念的知识,我们才能对人类的孩子应该如何获得这样的知识作出更好的判断。”


  在小学数学中,无论是教材编写还是课堂教学,都常有数学史材料的出现。但这些材料的使用方式往往比较简单。在教材中,它们大多以补充材料的形式呈现。在课堂教学中,往往在一节课将要结束时出现,形式大多是朗读一段史料。其价值局限于了解一些趣闻,开阔一下眼界,或进行一些简单的思想教育―――某某成果,中国领先世界其他国家若干年。如果将课堂教学比作一份大餐的话,数学史材料只能算是凉菜、小菜,从来不是主菜。


  中国老一辈数学家余介石与倪可权在合著的《数之意义》一书中主张:“历史之于数学,不仅在名师大家之遗言轶事,足生后学高山仰止之思,收闻风兴起之效,更可指示基本概念之有机发展情形,与夫心理及逻辑程序,如何得以融和调剂,不至相背,反可相成,诚为教师最宜留意体会之一事也。”在本课的教学中,我们不仅渗透相关的数学史,更是基于数学史的材料,将课堂教学展开的主线与圆周率产生发展的历史线索结合起来,让学生重走了他们能走的、人类研究圆周率的关键几步。这样,把数学史材料做成了课堂教学这一大餐的主菜。学生在学习过程中,不仅了解“名师大家之遗言轶事”,更能将圆周率这一概念的发生发展“与夫心理及逻辑程序,如何得以融和调剂,不至相背,反可相成”。


  2.科学精神的培养


  所谓科学精神,主要是指学生在学习、理解、运用科学知识和技能等方面所形成的价值标准、思维方式和行为表现,具体包括理性思维、批判质疑、勇于探究等基本要点。本课教学中,教师针对古人“周三径一”的说法,通过“你懂吗?”和“你相信吗?”这两个问题,引导学生从理解、质疑古人的结论“周三径一”开始进行学习与探索。当部分学生表示相信,部分学生表示不信时,教师引导学生直面这一局面,并想办法解决问题:相信,不能因为是书上写的所以信,也不能因为我感觉可能是对的所以信;不信,也不能仅仅是类似的原因。一方面是要批判、要质疑,另一方面,又要有理性思维、能言之有据。在寻找证据的探究活动中,本课较之通常也有明显的不同。在通常的探究活动中,教师往往会出示明确的探究过程,学生只需按图索骥即可。而在本课中,教师先提出问题:“如果要研究‘周三径一’是否正确,应该如何做?”讨论这样的问题,不仅是要让学生勇于探究,而且要善于探究,要掌握探究的基本方法。


  (作者单位:长沙市教育科学研究院)


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